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【题目】若椭圆的顶点和焦点中,存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点,则的离心率等于(

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

由菱形对角线互相垂直可转化为,在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形,结合椭圆的对称性,只须考虑三种情况,作出图形,从而求得椭圆的离心率.

依题意,由菱形对角线互相垂直可转化为,在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形,结合椭圆的对称性,只须考虑三种情况:

1)如图1,若以顶点焦点为菱形顶点,为中心,则,由勾股定理得,,由化简得

两边同除以,得,又因为,可得

2)如图2,若以焦点,为菱形顶点,为中心,则,故,易得

3)如图3,若以焦点为菱形的中心,,为顶点,则,易得,故选D.

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