Question

11．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，过上顶点A与AF₂垂直的直线交x轴于Q点，且2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$\overrightarrow{0}$，过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₂的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，△F₁MN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此事直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设F₁（-c，0）、F₂（c，0），利用2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$\overrightarrow{0}$得Q（-3c，0），通过$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0可知a=2c，进而过A、Q、F₂三点的圆的圆心为斜边QF₂的中点（-c，0）、半径r=2c，利用圆心到直线x-$\sqrt{3}$y-3=0的距离为半径r可知c=1，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、直线l的方程为：x=my+1，利用三角形面积公式化简可知${S}_{△{F}_{1}MN}$=|y₁-y₂|，通过联立直线l与椭圆方程后由韦达定理、换元化简可知${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$[其中t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（t≥1）]，进而即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知A（0，b），设F₁（-c，0），F₂（c，0），
由2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$\overrightarrow{0}$得：Q（-3c，0），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（-3c，-b），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=（c，-b），
由AQ⊥AF₂得：$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=-3c²+b²=0，
∴-3c²+a²-c²=0，即a=2c，
∴过A、Q、F₂三点的圆的圆心为斜边QF₂的中点（-c，0）、半径r=2c，
∵过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线x-$\sqrt{3}$y-3=0相切，
∴圆心到直线x-$\sqrt{3}$y-3=0的距离为半径r，
即$\frac{|-c-3|}{2}$=2c，解得：c=1，
∴a=2c=2，b=$\sqrt{3}$，
故所求的椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）结论：△F₁MN的面积存在最大值为3，此时直线l的方程为x=1．
理由如下：
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意y₁、y₂异号，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为：x=my+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
故（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=（-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$）²-4（-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$）
=$\frac{144（{m}^{2}+1）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$，
∴${S}_{△{F}_{1}MN}$=|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（t≥1），则${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
∴当t=1时，${S}_{△{F}_{1}MN}$有最大值3，此时m=0，
故△F₁MN的面积的最大值为3，此时直线l的方程为x=1．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．