【题目】抛物线M:的焦点为F,过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点A,B,A关于x轴的对称点为.
(1)求证:直线过定点,并求出这个定点;
(2)若的垂直平分线交抛物线于C,D,四边形外接圆圆心N的横坐标为19,求直线AB和圆N的方程.
【答案】(1)见解析,定点;(2)直线AB:,圆N:
【解析】
(1)设直线AB:(),求出:,令即得定点坐标;
(2)求出,再分类讨论,先求出CD方程为:,再根据线段CD是圆N的直径,求出直线AB和圆N的方程.
(1)设直线AB:(),代入抛物线方程得:,
设,,则,
所以,,
从而:,令得:
,
所以直线过定点.
(2)由(1)知:,
且,
当时,
直线:,
设线段的中点为,则,
所以,所以,
从而CD:即,
上述方程代入得:(*),
因为CD是的垂直平分线,所以线段CD是圆N的直径,
所以,解得:.
所以直线AB:.此时CD:,时,
方程(*)化简为:,求得,
圆N:;
当时,同理求得AB:,圆N:.
综上,直线AB:,圆N:.
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为.
(1)设过点的直线与椭圆相交于、两点,若的中点恰好为点,求该直线的方程;
(2)过右焦点的直线(与轴不重合)与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求实数的取值范围.
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【题目】如上图所示,在正方体中, 分别是棱的中点, 的顶点在棱与棱上运动,有以下四个命题:
A.平面 ; B.平面⊥平面;
C. 在底面上的射影图形的面积为定值;
D. 在侧面上的射影图形是三角形.其中正确命题的序号是__________.
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【题目】如图,矩形ABCD中,,,E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,,,是线段CF的四等分点,分别以HF,EG为x,y轴建立直角坐标系,设ER与ER与分别交于,,ES与ES与交于,,ET与交于点N,则下列关于点,,,,N与两个椭圆::,:的位置关系叙述正确的是( )
A.三点,,Nspan>在,点在上B.,不在上,,N在上
C.点在上,点,,均不在上D.,在上,,均不在上
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【题目】在甲地,随着人们生活水平的不断提高,进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式.我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人,否则称为“无习惯的人”.某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民,他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如下表:
(1)以年龄45岁为分界点,请根据100个样本数据完成下面列联表,并判断是否有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关;
(2)已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人,以频率估计概率,若每张电影票定价为元,则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影(为常数).已知票价定为30元的某电影,票房达到了 69.3万元.某新影片要上映,电影院若将电影票定价为25元,那么该影片票房估计能达到多少万元?
参考公式:,其中.
参考临界值
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【题目】某篮球队有名队员,其中有名队员打前锋,有名队员打后卫,甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为名前锋,名后卫,则不同的出场阵容共有______种.
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【题目】某商场营销人员对某商品进行市场营销调查,发现每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过统计得到下表:
回馈点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百件)/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)经分析发现,可用线性回归模型拟合该商品每天的销量(百件)与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测若回馈6个点时该商品每天销量;
(2)已知节日期间某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了抽样调查,得到如下频数表:
返还点数预期值区间 | ||||||
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(i)求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到0.1);
(ii)将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,设抽出的3人中“欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量,求的分布列及数学期望.
参考公式及数据:①,;②.
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【题目】某工厂抽取了一台设备在一段时间内生产的一批产品,测量一项质量指标值,绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)计算该样本的平均值,方差;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)根据长期生产经验,可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均值,近似为样本方差.任取一个产品,记其质量指标值为.若,则认为该产品为一等品;,则认为该产品为二等品;若,则认为该产品为不合格品.已知设备正常状态下每天生产这种产品1000个.
(i)用样本估计总体,问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过?
(ii)某公司向该工厂推出以旧换新活动,补足50万元即可用设备换得生产相同产品的改进设备.经测试,设备正常状态下每天生产产品1200个,生产的产品为一等品的概率是,二等品的概率是,不合格品的概率是.若工厂生产一个一等品可获得利润50元,生产一个二等品可获得利润30元,生产一个不合格品亏损40元,试为工厂做出决策,是否需要换购设备?
参考数据:①;②;③,.
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