Question

12．已知函数f（x）=x²-2x+3．
（1）是否存在实数m，使不等式m+f（x）＞0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
（2）若存在实数x，使不等式m-f（x）＞0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式m+f（x）＞0可化为m＞-f（x），求出右边的最大值，即可求得m的范围；
（2）m-f（x）＞0可化为m＞f（x），求出右边的最小值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）不等式  m+f（x）＞0 可化为 m＞-（x-1）²-2，
要使 不等式m+f（x）＞0对于任意x∈R恒成立，只需m＞-2即可，
故存在实数m使不等式对任意x∈R恒成立，此时m＞-2；
（2）不等式m-f（x）＞0，可化为 m＞f（x），
 若存在实数x使不等式 m-f（x）＞0成立，只需m＞f（x）_min
又f（x）=（x-1）²+2，所以f（x）_min=2，
故所求实数m的取值范围时m＞2．

点评 本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．