【题目】如图在三棱锥S﹣ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC= ,M为AB的中点.
(I)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求点B到平面SCM的距离.
【答案】(Ⅰ)证明:如图,取AC的中点D,连接DS,DB.∵SA=SC,BA=BC,
∴AC⊥DS,且AC⊥DB,DS∩DB=D,
∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)解:∵SD⊥AC,平面SAS⊥平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
如图,过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
∴在Rt△SDE中,SD=1,DE= ,
∴SE= .CM是边长为2的正△ABC的中线,∴CM= .
∴ = .
= .
设点B到平面SCM的距离为h,
则由VB﹣SCM=VS﹣BCM得 ,
∴ .
【解析】(Ⅰ)欲证AC⊥SB,取AC中点D,连接DS、DB,根据线面垂直的性质定理可知,只须证AC⊥SD且AC⊥DB,即得;(Ⅱ)设点B到平面SCM的距离为h,利用等体积法:VB﹣SCM=VS﹣CMB , 即可求得点B到平面SCM的距离.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行.
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【题目】已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4
(1)若平面上有两点A(1,0),B(﹣1,0),点P是圆C上的动点,求使|AP|2+|BP|2取得最小值时点P的坐标;
(2)若Q是x轴上的动点,QM,QN分别切圆C于M,N两点,①若 ,求直线QC的方程;②求证:直线MN恒过定点.
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【题目】已知点P(t,t),点M是圆O1:x2+(y﹣1)2= 上的动点,点N是圆O2:(x﹣2)2+y2= 上的动点,则|PN|﹣|PM|的最大值是( )
A.1
B. ﹣2
C.2+
D.2
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【题目】已知⊙O:x2+y2=2,⊙M:(x+2)2+(y+2)2=2,点P的坐标为(1,1).
(1)过点O作⊙M的切线,求该切线的方程;
(2)若点Q是⊙O上一点,过Q作⊙M的切线,切点分别为E,F,且∠EQF= ,求Q点的坐标;
(3)过点P作两条相异直线分别与⊙O相交于A,B,且直线PA与直线PB的倾斜角互补,试判断直线OP与AB是否平行?请说明理由.
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【题目】已知函数f ( x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则 的取值范围是( )
A.(﹣ , ?)
B.(﹣ ,1)
C.(﹣ , )
D.(﹣ ,1)
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【题目】已知函数f(x)=ax2+(b﹣8)x﹣a﹣ab,当x∈(﹣3,2)时,f(x)>0,当x∈(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,求c的取值范围;
(3)当x>﹣1时,求y= 的最大值.
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