Question

（2013•徐州模拟）已知f（x）=log₂（x-1），若实数m，n满足f（m）+f（n）=2，则mn的最小值是

9

．

Answer 1

分析：由题目给出的函数解析式可以得到m和n均大于1，然后由f（m）+f（n）=2，得到mn-（m+n）=3．利用基本不等式转化为含mn的不等式，通过解不等式可以求得mn的最小值．

解答：解：由f（x）=log₂（x-1），且实数m，n满足f（m）+f（n）=2，
所以log₂（m-1）+log₂（n-1）=2．
则

m＞1 n＞1 log2(m-1)(n-1)=2①

，
由①得（m-1）（n-1）=4，即mn-（m+n）=3．
所以3=mn-（m+n）≤mn-2

mn

．
即mn-2

mn

-3≥0．解得

mn

≤-1，或

mn

≥3．
因为m＞1，n＞1．所以

mn

≥3，mn≥9．
故答案为9．

点评：本题考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，考查了对数函数的性质，利用了数学转化思想方法，是中档题．