Question

求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）对称轴是x轴，并且顶点到焦点的距离等于8的抛物线；
（2）a=10，e=

3

5

，焦点在x轴上的椭圆；
（3）到点（0，-10），（0，10）距离之差的绝对值为16的双曲线．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，设出抛物线的标准方程，求出p，由此能求出抛物线方程；
（2）由已知条件，设出椭圆的标准方程，由已知条件分别求出a，b，由此能求出椭圆方程；
（3）利用双曲线的定义，根据已知条件能求出双曲线的方程．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴是x轴，
∴设抛物线方程为y²=2px，p＞0，或y²=-2px，p＞0，
∴抛物线的顶点到焦点的距离等于8，
∴

p

2

=8，解得p=16，
∴抛物线方程为y²=32x，或y²=-32x．
（2）∵椭圆焦点在x轴上，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵a=10，e=

3

5

，
∴c=6，b²=10²-6²=64，
∴椭圆方程为

x2

100

+

y2

64

=1．
（3）∵双曲线上的点到点（0，-10），（0，10）距离之差的绝对值为16，
∴双曲线的焦点在y轴上，且c=10，2a=16，
∴b2=102-(

16

2

)2=36，
∴双曲线方程为

y2

64

-

x2

36

=1．

点评：本题考查抛物线、椭圆、双曲线的性质及其应用，解题时要认真审题，熟练掌握抛物线、椭圆、双曲线的基础知识．