Question

定义在R上的函数f（x）的图象过点M（-6，2）和N（2，-6），且对任意正实数k，有f（x+k）＜f（x）成立，则当不等式|f（x-t）+2|＜4的解集为（-4，4）时，实数t的值为________．

Answer 1

2
分析：根据对任意正实数k，有f（x+k）＜f（x）成立，判断函数单调性，是R上的单调递减函数，根据绝对值不等式的解法解不等式|f（x-t）+2|＜4，利用函数的单调性即可求得实数t的值．
解答：∵对任意正实数k，有f（x+k）＜f（x）成立，
∴函数f（x）在R上单调递减，
∵f（-6）=2，f（2）=-6，|f（x-t）+2|＜4，
∴-6＜f（x-t）＜2，即f（2）＜f（x-t）＜f（-6），
∴-6＜x-t＜2，即t-6＜x＜2+t，
∵不等式|f（x-t）+2|＜4的解集为（-4，4）
∴t=2．
故答案为2．
点评：此题是个中档题．考查函数的单调性和利用单调性求解不等式，以及绝对值不等式的解法，体现了转化的思想．同时也考查了学生利用知识分析解决问题的能力．