Question

14．数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+a_n=1．设${a_n}=\frac{{{b_n}-n}}{2n+1}$．
（1）求：求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设{b_n}的前n项和为T_n，求$\frac{{{T_n}+18}}{n}+\frac{n+2}{n}{（\frac{1}{3}）^n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出通项公式a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，继而求出{b_n}的通项公式，
（2）由（1）可得b_n=（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ+n，利用分组求和和错位相减法求出T_n，再根据数列的函数特征，判断出当n=6时，$\frac{{{T_n}+18}}{n}+\frac{n+2}{n}{（\frac{1}{3}）^n}$取得最小值，代值计算即可．

解答 解：（1）∵2S_n+a_n=1，
当n=1时，a₁=$\frac{1}{3}$，
当n≥2时，2S_n-1+a_n-1=1，
∴2a_n+a_n-a_n-1=0，
即a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
∴数列{a_n}是以首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∵${a_n}=\frac{{{b_n}-n}}{2n+1}$．
∴b_n=（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ+n，
∵设{（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ}的前n项和为S_n，
∴S_n=3×（$\frac{1}{3}$）¹+5×（$\frac{1}{3}$）²+7×（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{3}$S_n=3×（$\frac{1}{3}$）²+5×（$\frac{1}{3}$）³+7×（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ+（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{2}{3}$S_n=1+2×（$\frac{1}{3}$）²+2×（$\frac{1}{3}$）³+2×（$\frac{1}{3}$）⁴+…+2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=1+2（$\frac{\frac{1}{9}（1-（\frac{1}{3}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{3}}$）-（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ=$\frac{4}{3}$-（2n+4）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（n+2）（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
∴T_n=S_n+$\frac{n（n+1）}{2}$=2-（n+2）（$\frac{1}{3}$）ⁿ+$\frac{1}{2}$n（n+1）
∴$\frac{{{T_n}+18}}{n}+\frac{n+2}{n}{（\frac{1}{3}）^n}$=$\frac{20}{n}$+$\frac{1}{2}$（n+1）=$\frac{20}{n}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$
令f（x）=$\frac{20}{x}$+$\frac{x}{2}$，x≥1，
∴f′（x）=-$\frac{20}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{x}^{2}-40}{2{x}^{2}}$，
当f′（x）＞0时，x＞2$\sqrt{10}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，1≤x＜$\sqrt{10}$，函数单调递减，
∴当x=2$\sqrt{10}$时，函数有最小值，
∴当n=7时，$\frac{20}{n}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{20}{7}$+$\frac{7}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{48}{7}$=$\frac{288}{42}$
当n=6时，$\frac{20}{n}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{10}{3}$+3+$\frac{1}{2}$=$\frac{41}{6}$=$\frac{287}{42}$，
∴当n=6时，$\frac{{{T_n}+18}}{n}+\frac{n+2}{n}{（\frac{1}{3}）^n}$的最小值为$\frac{41}{6}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，数列的函数特征，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．