Question

已知函数f(x)=2x-

a

2x

（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．
（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且仅有一个实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图象的平移可得g（x）的解析式，由对称区间的解析式的求解方法可得h（x）的解析式；
（Ⅱ）设t=2^x，问题转化为t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根，由分类讨论的思想可得答案；
（Ⅲ）设t=2^x，t∈（2，+∞）．问题转化为t²-4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立，构造函数m(t)=

t2

t-1

，可得其最小值，进而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得g(x)=f(x-2)=2x-2-

a

2x-2

．
设y=h（x）的图象上一点P（x，y），点P（x，y）关于y=1的对称点为Q（x，2-y），
由点Q在y=g（x）的图象上，所以2x-2-

a

2x-2

=2-y，
于是y=2-2x-2+

a

2x-2

，即h(x)=2-2x-2+

a

2x-2

．
（Ⅱ）设t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
由2x-

a

2x

=a得t-

a

t

=a，即t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根．
设k（t）=t²-at-a，对称轴t=

a

2

．
若k（1）=0，则a=

1

2

，两根为t1=1，t2=-

1

2

．适合题意；
若k（2）=0，则a=

4

3

，两根为t1=2，t2=-

2

3

．适合题意．
若在（1，2）内有且仅有一个实根，则k（1）•k（2）＜0①或    

△=0 1≤ a 2 ≤2

②
由①得 (1-2a)(4-3a)＜0?

1

2

＜a＜

4

3

；
由②得 

a2+4a=0 2≤a≤4

无解．
综上可得a∈[

1

2

，

4

3

]．
（Ⅲ）F(x)=f(x)+h(x)=

3

4

•2x+

3a

2x

+2．
由F（x）＞2+3a，化简得

1

4

•2x+

a

2x

＞a，设t=2^x，t∈（2，+∞）．
即t²-4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立．
注意到t-1＞1，分离参数得a＜

t2

4(t-1)

对任意t∈（2，+∞）恒成立．
设m(t)=

t2

t-1

，t∈（2，+∞），即a＜

1

4

m(t)min，
而m(t)=

t2

t-1

=(t-1)+

1

t-1

+2．
可证m（t）在（2，+∞）上单调递增．
∴m（t）＞m（2）=4，
∴a≤

1

4

•4=1，即a∈（-∞，1]．

点评：本题考查函数解析式的求解，以及恒成立问题，涉及分类讨论的思想，属中档题．