【题目】已知函数f(x)=(x∈R),a为正实数.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对,不等式恒成立,求正实数a的取值范围.
【答案】(1)增区间为[0,3];(2)
【解析】
(1)对函数求导,分别令f′(x)>0, f′(x)<0,即可解得函数的单调区间。
(2)不等式|f(x1)﹣f(x2)|<1恒成立,转化为在上,即求在上的最大值与最小值,结合(1)的单调性,即可求解。
(1)因为f(x)=,所以=.
令>0,得0<x<3,令<0,得x<0,或x>3.
所以f(x)的单调增区间为[0,3](注意:写成开区间(0,3)也行),单调减区间为
(-∞,0)和(3,+∞)
(2)由(1)知f(x)在[0,3]上为增函数,在[3,4]上为减函数,
所以f(x)在[0,4]上的最大值是f(3)=.
又因为f(0)=-a<0,f(4)=11a>0,所以f(0)<f(4),
所以f(x)在[0,4]上的最小值为f(0)=-a. 所以,若对,不等式<1恒成立,
当且仅当,即<1. 即+a<1,解得:a<. 又因为a>0,所以0<a<.
故实数a的取值范围为.
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【题目】2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨,黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查,随机抽取80名群众进行调查,将他们的年龄分成6段: ,,,, , ,得到如图所示的频率分布直方图.问:
(Ⅰ)求这80名群众年龄的中位数;
(Ⅱ)若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名,并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南,求选派的3名群众年龄在的概率.
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【题目】如图所示,在边长为8的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中点,,D,H,G为垂足,若将绕AD旋转,求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.
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【题目】下列关于向量的描述正确的是( )
A.若向量,都是单位向量,则
B.若向量,都是单位向量,则
C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
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【题目】海中一小岛的周围 内有暗礁,海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东,航行8后,于处测得小岛在北偏东(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南()方向航行,求的最小值.
附:
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【题目】如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45° ,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
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