某企业拟建造如图所示的容器.其中容器的中间为圆柱形.左右两端均为半球形.按照设计要求容器的体积为80π3立方米.且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元.半球形部分每平方米建造费用为c千元．设该容器的建造费用为y千元．(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式.并求该函数的定义域,(Ⅱ)求该容器的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

80π

立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

分析：（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．

解答：解：（1）由体积V=

πr3+πr2l=

80π

，解得l=

80-4r3

3r2

，
∴y=2πrl×3+4πr²×c
=6πr×

80-4r3

3r2

+4cπr²
=2π•

80+(2c-4)r3

，
又l≥2r，即

80-4r3

3r2

≥2r，解得0＜r≤2
∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-

160π

，
=

8π(c-2)

(r3-

c-2

)，0＜r≤2
由于c＞3，所以c-2＞0
当r³-

c-2

=0时，则r=

c-2

令

c-2

=m，（m＞0）
所以y′=

8π(c-2)

(r-m)(r2+rm+m2)
①当0＜m＜2即c＞

时，
当r=m时，y′=0
当r∈（0，m）时，y′＜0
当r∈（m，2）时，y′＞0
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3＜c≤

时，
当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．
所以r=2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤

时，建造费用最小时r=2；
当c＞

时，建造费用最小时r=

c-2

点评：利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．

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