已知数列{an}是由正数组成的等差数列,Sn是其前n项的和,并且a3=5,a4•S2=28.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}的通项bn=|an-23|(n∈N*),求数列{bn}的前n项的和Tn.
分析:(Ⅰ)设出等差数列的等差为d,根据等差数列的性质,利用a3=5,a4•S2=28求出d及表示出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)把an的通项代入到bn=|an-23|中得到bn的通项公式,讨论n的值,化简绝对值得到bn的通项公式为分段的,分别根据等差数列的求和公式求出之和即可.
解答:解:(Ⅰ)a
4•S
2=(a
3-2d+a
3-d)•(a
3-d)=(10-3d)•(5+d)=28
∴3d
2+5d-22=0∴d=2或d=-
(舍去)
∵a
n>0∴d>0.∴a
n=a
3+(n-3)d=5+2n-6=2n-1.
(Ⅱ)b
n=|a
n-23|=|2n-24|=
| (24-2n(n≤12)) | (2n-24(n≥13) |
| |
①当n≤12时,b
n=24-2n,
∴T
n=
=23n-n
2;
②当n≥13时,∴T
n=22+20++2+0+2+4+…+(2n-24)
=[-22-20--2+0+2+…+(2n-24)]+2(22+20+…+2)
=n
2-23n+2•12•11=n
2-23n+264
∴T
n=
| (23n-n2(n≤12)) | ((n2-23n+264)(n≥13) |
| |
点评:考查学生灵活运用等差数列性质的能力,会求等差数列的通项公式,会利用等差数列的求和公式分情况求数列的前n项和.