Question

对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=log_a（x-3a）与g(x)=loga

1

x-a

（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．

Answer 1

分析：（1）欲使函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，即使对数的真数大于0，建立关系式，解之即可；
（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，建立关系式化简可得-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1，然后研究函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上的单调性，建立关系式，解之即可．

解答：解：（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，
必须满足

a+2-3a＞0 a+2-a＞0 0＜a，a≠1

⇒0＜a＜1
（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，
则|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|⇒|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1
即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*）
因为a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
所以函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而

[g(x)]max=g(a+2)=loga(4-4a) [g(x)]min=g(a+3)=loga(9-6a)

于是不等式（*）成立的充要条件是

loga(4-4a)≤1 loga(9-6a)≥-1 0＜a＜1

⇒0＜a≤

9- 57

12

因此，当0＜a≤

9- 57

12

时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的；当1＞a＞

9- 57

12

时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是不“友好”的．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及新定义的运用，属于中档题．