Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设平面向量e₁＝，e₂＝，且e₁⊥e₂.
(1)求cos 2A的值；
(2)若a＝2，求△ABC的周长L的取值范围．

Answer 1

（1）－（2）(4,6]

(1)∵e₁⊥e₂，∴e₁·e₂＝·＝2cos C·a＋·1＝0，
即acos C＋－b＝0∴2acos C＋c－2b＝0.
根据正弦定理得：2sin Acos C＋sin C＝2sin B，
∴2sin Acos C＋sin C＝2sin(A＋C)，
∴2sin Acos C＋sin C＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴2cos Asin C＝sin C，∵sin C≠0，
∴cos A＝，A∈(0，π)∴A＝∴cos 2A＝cos＝－.
(2)由余弦定理得
a²＝b²＋c²－2bccos A＝b²＋c²－bc＝(b＋c)²－3bc≥(b＋c)²－＝即b＋c≤＝4，当且仅当b＝c＝2时取等号，由构成三角形的条件知b＋c＞a＝2，即b＋c∈(2,4]∴L＝a＋b＋c∈(4,6]．