Question

7．已知函数f（x）=x²+|4x-a|（a为常数）．若f（x）的最小值为6，则a的值为-10或10．

Answer 1

分析 去掉绝对值，讨论a=0，可得x=0处取得最小值；a＞0，0＜a≤8时，a＞8时，讨论对称轴和区间的关系，可得最小值，讨论a＜0，-8≤a＜0时，a＜-8时，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最小值，解方程可得a的值．

解答 解：f（x）=x²+|4x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x-a，x≥\frac{a}{4}}\\{{x}^{2}-4x+a，x＜\frac{a}{4}}\end{array}\right.$，
当a=0时，f（x）在x≥0递增，在x＜0递减，
可得x=0处取得最小值，且为0；
当a＞0时，f（x）在x≥$\frac{a}{4}$递增，
若$\frac{a}{4}$≤2，即0＜a≤8时，f（x）递减，
可得x=$\frac{a}{4}$处取得最小值，且为$\frac{{a}^{2}}{16}$，由$\frac{{a}^{2}}{16}$=6，解得a=4$\sqrt{6}$＞8不成立；
若$\frac{a}{4}$＞2，即a＞8时，f（x）在x＜2递减，2＜x＜$\frac{a}{4}$递增，
即有x=2处取得最小值，且为4-8+a=6，解得a=10；
当a＜0时，f（x）在x＜$\frac{a}{4}$递减，
若$\frac{a}{4}$≥-2，即-8≤a＜0时，f（x）在x≥$\frac{a}{4}$递增，
可得x=$\frac{a}{4}$处取得最小值，且为$\frac{{a}^{2}}{16}$，由$\frac{{a}^{2}}{16}$=6，解得a=-4$\sqrt{6}$＜-8不成立；
若$\frac{a}{4}$＜-2，即a＜-8时，f（x）在$\frac{a}{4}$＜x＜-2递减，在x＞-2递增，
即有x=-2处取得最小值，且为4-8-a=6，解得a=-10．
综上可得a的取值为-10或10．
故答案为：-10或10．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值求法，讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．