Question

7．已知x²+y²-2ax-4ay+4a²=0，求证：
（1）不论a取何值，上述圆的圆心在同一条直线上．
（2）不论a取何值，上述圆都有公切线，并求公切线方程．

Answer 1

分析 （1）将圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，令$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，则y=2x，即可得证；
（2）由于不论a取何值，上述圆的圆心在同一条直线y=2x上．又半径均为|a|，则存在两条公切线，且与直线y=2x平行，相距|a|；运用平行直线的距离公式，计算即可得到．

解答 证明：（1）圆x²+y²-2ax-4ay+4a²=0的标准方程为
（x-a）²+（y-2a）²=a²，
即有圆心为（a，2a），半径为|a|，（a≠0），
令$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，则y=2x，
故不论a取何值，上述圆的圆心在同一条直线y=2x上．
（2）由于不论a取何值，上述圆的圆心在同一条直线y=2x上．
又半径均为|a|，
则存在两条公切线，且与直线y=2x平行，相距|a|；
设公切线方程为y=2x+t，
由d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=|a|，
解得t=±$\sqrt{5}$|a|，（a≠0），
即有两条公切线方程为y=2x+$\sqrt{5}$|a|，或y=2x-$\sqrt{5}$|a|，（a≠0）．

点评 本题考查圆的一般式方程和标准方程的互化，圆的圆心和半径的求法，以及圆的公切线方程的求法，属于中档题．