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7.已知x2+y2-2ax-4ay+4a2=0,求证:
(1)不论a取何值,上述圆的圆心在同一条直线上.
(2)不论a取何值,上述圆都有公切线,并求公切线方程.

分析 (1)将圆的方程化为标准方程,求得圆心和半径,令$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$,则y=2x,即可得证;
(2)由于不论a取何值,上述圆的圆心在同一条直线y=2x上.又半径均为|a|,则存在两条公切线,且与直线y=2x平行,相距|a|;运用平行直线的距离公式,计算即可得到.

解答 证明:(1)圆x2+y2-2ax-4ay+4a2=0的标准方程为
(x-a)2+(y-2a)2=a2
即有圆心为(a,2a),半径为|a|,(a≠0),
令$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$,则y=2x,
故不论a取何值,上述圆的圆心在同一条直线y=2x上.
(2)由于不论a取何值,上述圆的圆心在同一条直线y=2x上.
又半径均为|a|,
则存在两条公切线,且与直线y=2x平行,相距|a|;
设公切线方程为y=2x+t,
由d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=|a|,
解得t=±$\sqrt{5}$|a|,(a≠0),
即有两条公切线方程为y=2x+$\sqrt{5}$|a|,或y=2x-$\sqrt{5}$|a|,(a≠0).

点评 本题考查圆的一般式方程和标准方程的互化,圆的圆心和半径的求法,以及圆的公切线方程的求法,属于中档题.

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