Question

设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是

BC

（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

分析：验证发现，直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x²+（y-2）²=1的切线的集合，
A．M中所有直线均经过一个定点，验证直线方程是否能化为为l₁+λl₂形式，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等，由直线系的几何意义可判断

解答：解：验证发现，直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x²+（y-2）²=1的切线的集合，
A．M中所有直线均经过一个定点，由于本题中的直线不能转化为l₁+λl₂形式，故不可能过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，故C正确；
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等，由直线系的几何意义知，这些线所围成的三角形大小不一定相等，故本命题不正确．
故答案为：BC

点评：本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆 x²+（y-2）²=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进行深入分析是发现其意义的捷径．