Question

设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N^*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P_n．
（1）求P₂，P₃的值；
（2）求P_n的表达式．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,子集与真子集

专题：综合题,二项式定理

分析：（1）当n=2时，即S={1，2}，由此能求出P₂=1；当n=3时，即S={1，2，3}，分类讨论，可得P₃=5．
（2）设集合A中的最大元素为“k”，确定集合A、B的情况，可得集合对（A，B）共有2^k-1（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1对．由此能求出P_n．

解答： 解：（1）当n=2时，即S={1，2}，此时A={1}，B={2}，所以P₂=1，…2分
当n=3时，即S={1，2，3}，若A={1}，则B={2}，或B={3}，或B={2，3}；
若A={2}或A={1，2}，则B={3}；所以P₃=5．…4分
（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k-1中任取若干个（包含不取），
所以集合A共有

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

+…+

C

k-1 k-1

=2k-1种情况，…6分
此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），
所以集合B共有

C

1 n-k

+

C

2 n-k

+

C

3 n-k

+…+

C

n-k n-k

=2n-k-1种情况，
所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2^k-1（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1对，…8分
当k依次取1，2，3，…，n-1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，
求和可得Pn=(n-1)•2n-1-(20+21+22+…+2n-2)=(n-2)•2n-1+1．…12分

点评：本题考查二项式定理的运用，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．