Question

已知椭圆过点和点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）将两点代入椭圆方程可解得的值，从而可得椭圆的方程。（2）分析可知直线的斜率存在，且。设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得关于的一元二次方程，因为有两个交点故判别式应大于0.且可得根与系数的关系，从而可得的中点坐标，因为所以点和中点的连线垂直直线，即两直线斜率之积等于。从而可求得的值。
解：（1）因为椭圆过点和点．
所以，由，得．
所以椭圆的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，且．设直线的方程为．
由消去并整理得，
由，．
设，，中点为，
得，．
由，知，
所以，即．
化简得，满足．
所以．
因此直线的方程为．