Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：x+2y+6=0上一点M反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．
（1）求点F₁关于直线l的对称点F'₁的坐标；
（2）求以F₁、F₂为焦点且过点M的椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）设F'₁（x₀，y₀），则根据垂直、中点在对称轴上求得解得点F'₁的坐标的坐标．
（2）由对称性知，|MF₁|=|MF'₁|，根据椭圆定义，得2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|，由此求得a的值，再由c=1求得b的值，从而求得椭圆C的方程．

解答：解：（1）设F'₁（x₀，y₀），则

y0

x0+1

=2，且

x0-1

2

+2•

y0

2

+6=0，
解得x₀=-3，y₀=-4，故点F'₁的坐标为（-3，-4）．
（2）由对称性知，|MF₁|=|MF'₁|，根据椭圆定义，
可得2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|=

(-3-1)2+(-4-0)2

=4

2

，即a=2

2

．
又由题意可得c=1，∴b=

a2-c2

=

7

，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

7

=1．

点评：本题主要考查反射定律的应用，求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．