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若直线xcosθ+ysinθ-1=0与圆(x-1)2+(y-sinθ)2=
1
16
相切,且θ为锐角,则这条直线的斜率是(  )
A、-
3
3
B、-
3
C、
3
3
D、
3
分析:由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径,根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,让d等于半径1,得到关于cosθ的方程,求出方程的解即可得到cosθ的值,然后根据θ为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出θ的值,然后把θ代入-
cosθ
sinθ
中即可求出直线的斜率.
解答:解:根据圆的方程(x-1)2+(y-sinθ)2=
1
16
,得到圆心坐标(1,sinθ),半径r=
1
4

因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d=
|cosθ+sin2θ-1|
cos2θ+sin2θ 
=r=
1
4

化简得:-cosθ+cos2θ=
1
4
,即(2cosθ-1)2=0,解得:cosθ=
1
2

由θ为锐角,得到θ=
π
3
,则直线的斜率k=-
cosθ
sinθ
=-cotθ=-cot
π
3
=-tan
π
6
=-
3
3

故选A.
点评:此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,掌握根据直线方程求直线斜率的方法,是一道综合题.
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1
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相切,且θ为锐角,则这条直线的斜率是(  )
A.-
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B.-
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C.
3
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D.
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A.     B.        C.      D.

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