Question

14．函数y=$\frac{2-sinx}{3+cosx}$的最小值为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，最大值为$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 把函数转化为方程2-3y=ycosx+sinx，利用三角函数有界性得出不等式：可得|$\frac{2-3y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$|≤1求解即可．

解答 解：函数y=$\frac{2-sinx}{3+cosx}$，可得2-sinx=3y+ycosx，即 sinx+ycosx=2-3y，
sin（x+α）=$\frac{2-3y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$．
再根据|sin（x+α）|=|$\frac{2-3y}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$|≤1，求得$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$≤y≤$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，
故函数y的最大值为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，最小值为$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$；$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了简单的函数值域的求解，三角函数的有界性，不等式即可，属于中档题．