Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3），N（5，1），若动点C满足

NC

=t

NM

且点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A，B两点．
（1）求证：

OA

⊥

OB

；
（2）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y²=4x于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由动点C满足

NC

=t

NM

，知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
又因为直线MN的方程为x-y-4=0
∴点C的轨迹方程为x-y-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x-y-4=0 y2=4x

得：
x²-12x+16=0
∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12
又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴

OA

⊥

OB

；
（2）假设存在P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y²=4x 于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点，
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，
代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即

y 21

4

+

y 22

4

+y1y2=m²-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．
∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
设弦D，E的中点为M（x，y） 
则x=

1

2

（x₁+x₂），y=

1

2

（ y₁+y₂）=2k，
x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，
∴x=2k²+4，y=2k，
∴消去k得弦D，E的中点M的轨迹方程为：y²=2x-8．
∴圆心的轨迹方程为y²=2x-8．