Question

(本题满分12分) 直角三角形的直角顶点为动点，，为两个定点，作于，动点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线，曲线与轴正半轴的交点为．(Ⅰ) 求曲线的方程；(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线，与曲线交于，两点，使，且与的夹角为？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)

(Ⅰ)由题意知，点在以为直径的圆上，且除去两点．
即点坐标满足方程：．
设点，，则，　　①
由知，即．代入①式
得　，即，曲线的方程为．（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，点，为坐标原点，假设直线存在，由题知为正三角形，
设，，线段中点为，则，且，（6分）
，作差得，，
直线，又直线，点坐标．
坐标为，，又，
．　　②   …（8分）
点到直线的距离，③
又由得，由②式得，
，，
．　④…（10分）
，由②③④得：，此时直线与椭圆交点有或，与曲线中矛盾，舍去．不存在符合题中要求的直线．……………（12分）