Question

18．设命题p：实数x满足x²-6ax-16a²＜0（a≠0）；命题q：实数x满足$\frac{1}{8}$≤2^x≤16，
（1）若a=1时，命题p∨q为真，同时命题p∧q为假，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别解出关于p，q的不等式，通过讨论p，q的真假得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）根据q是p的真子集，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出取并集即可．

解答 解：（1）a=1时，p：-2＜x＜8，q：-3≤x≤4，
若命题p∨q为真，同时命题p∧q为假，
则p，q一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜8}\\{x＞4或x＜-3}\end{array}\right.$，
则4＜x＜8，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{x≥8或x≤-2}\\{-3≤x≤4}\end{array}\right.$
则-3≤x≤-2，
综上，x∈[-3，-2]∪（4，8）；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，
则q是p的真子集，
a＜0时，p：8a＜x＜-2a，q：-3≤x≤4，
此时$\left\{\begin{array}{l}{8a＜-3}\\{-2a＞4}\end{array}\right.$，解得：a＜-2，
a＞0时，p：-2a＜x＜8a，q：-3≤x≤4，
此时$\left\{\begin{array}{l}{-2a＜-3}\\{8a＞4}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{3}{2}$，
综上，a＜-2或a＞$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及分类讨论思想，是一道中档题．