Question

已知函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象上有两点A₁（m₁，y₁），A₂（m₂，y₂），满足a²+（y₁+y₂）a+y₁•y₂=0．
求证：
（1）存在i∈{1，2}，使y_i=-a；
（2）抛物线y=ax²+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为（x₁，0）（x₂，0），（x₁＜x₂），则存在i∈{1，2}，使x₁＜m_i＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，知（y₁+a）（y₂+a）=0，由此能够证明存在i∈{1，2}，使得y_i=-a．
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得y_i=-a，则有-a=ax²+bx+c，由此能够证明抛物线y=ax²+bx+c与x轴总有两个不同的交点．
（3）方程ax²+bx+c=0有两个实数根x₁、x₂，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，由此能够证明x₁＜m_i＜x₂．

解答：证明：（1）由a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
有（y₁+a）（y₂+a）=0．（2分）
∴y₁=-a或y₂=-a，
即存在i∈{1，2}，使得y_i=-a．（4分）
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得y_i=-a，
则有-a=ax²+bx+c，
即ax²+bx+a+c=0，
由△=b²-4a（a+c）≥0．
∴b²-4ac≥4a²＞0．∴b²-4ac＞0．
∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴总有两个不同的交点．（8分）
（3）方程ax²+bx+c=0有两个实数根x₁、x₂，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．（10分）
∴（m_i-x₁）（m_i-x₂）
=m_i²-（x₁+x₂）m_i+x₁x₂
=m_i²+

b

a

m_i+

c

a

=

1

a

（am_i²+bm_i+c）
=

1

a

y_i，
由（1）可知

1

a

y_i=-1＜0，
∴x₁＜m_i＜x₂．（14分）．

点评：本题考查二次函数的性质的应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较大．解题时要认真审题，仔细解答．