分析:(1)利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f(x)的单调区间和值域.
(2)在a≤-1,x∈[0,1]的条件下,判断g(x)的单调性,进而求解g(x)的值域,依题意得f(x)的值域是g(x)值域的子集,列出关于a的不等式组,解出a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)
f/(x)=2x-令f'(x)=0
解得:
x=,x=-1(舍去)
列表:
可知f(x)的单调减区间是
(0,),增区间是
(,1);
因为
<1-ln=ln2-(ln3-1)<ln2,
所以当x∈[0,1]时,f(x)的值域为
[,ln2](Ⅱ)g′(x)=3(x
2-a
2)
因为a≤-1,x∈(0,1)
所以g′(x)<0,g(x)为[0,1]上的减函数,g(1)≤g(x)≤g(0)
所以g(x)∈[1-4a-3a
2,-4a]
因为当x∈[0,1]时,f(x)的值域为
[,ln2]由题意知:
[,ln2]⊆[1-4a-3a2,-4a]所以
又a≤-1,得
a≤-.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、值域等函数知识,对于(2)解答的关键是,f(x)的值域是g(x)的值域的子集,在学习中,同学们应熟练掌握这一方法,本题是一道好题,属于教学中的重点和难点.