Question

已知复数z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用z₁z₂的实部为f（x），求出f（x），通过函数f（x）是关于x的偶函数，求k的值；
（2）利用（1）求出函数y=f（log₂x）的表达式，化简后，通过基本不等式，函数的单调性求出在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点．转化为方程最多只有一个解，图象最多只有一个交点，利用函数的单调性证明即可．
解答：解：（1）z₁z₂=（log₂（2^x+1）+ki）（1-xi）；所以f（x）=log₂（2^x+1）+kx，
因为函数f（x）是关于x的偶函数所以f（-x）=log₂（2^-x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx=f（x），所以2kx=-x，所以
（2）由（1）可知f（x）=log₂（2^x+1）-x，
所以y=f（log₂x）=log₂（x+1）-log₂x=log₂=，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R，
（3）函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点，
就是log₂（2^x+1）-x=最多只有一个解，就是log₂（2^x+1）=x+m最多只有一个解，
因为函数log₂（2^x+1）是单调增函数，x+m也是单调增函数，
所以对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点．
点评：本题是中档题，以复数为依托，考查函数的最值的求法，函数的解与方程的根的知识，考查计算能力，转化思想的应用．