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已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可作为一个椭圆、一条双曲线和一条抛物线的离心率,则
b-1a+1
的取值范围为
 
分析:依题意可知方程有一个根是1,进而可设x3+ax2+bx+c=0=(x-1)(x2+mx+n)根据多项式恒等的充要条件,的方程组,联立后可求得m和n,进而可构造函数f(x)=x2+mx+n,则可知f(x)=0的两个根x1,x2分别作为椭圆和双曲线的离心率,根据判别式大于0,令a为横轴,b为纵轴,建立平面直角坐标系,作出这三个不等式所对应的平面区域S,设P(a,b)是平面区域S内的任意一点,A(-1,1),则可知
b-1
a+1
的几何意义是直线的斜率,进而可求得范围.
解答:解:依题意,关于x的方程 x3+ax2+bx+c=0有一个根是1
所以可设x3+ax2+bx+c=0=(x-1)(x2+mx+n)
根据多项式恒等的充要条件,得
m-1=a①
n-m=b②
n+c=0③
取①②两式联立得
m=a+1,n=a+b+1
构造函数 f(x)=x2+mx+n 即 f(x)=x2+(a+1)x+(a+b+1)
依题意f(x)=0的两个根x1,x2分别作为椭圆和双曲线的离心率
故 0<x1<1<x2
根据一元二次方程根的分布,可得关于实系数a,b的约束条件:
判别式=(a+1)2-4(a+b+1)=(a-1)2-4b-4>0
f(0)=a+b+1>0,f(1)=2a+b+3<0
令a为横轴,b为纵轴,建立平面直角坐标系,作出这三个不等式所对应的平面区域S,
设P(a,b)是平面区域S内的任意一点,A(-1,1),k=
b-1
a+1

则k的几何意义是直线PA的斜率.
作图,得-2<k<0
故答案为(-2,0)
点评:本题主要考查了圆锥曲线的综合知识.涉及到了函数的根的分布,多项式恒等等知识.属中档题.
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已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆,一个抛物线,一个双曲线的离心率,则
b
a
的取值范围
-2<
b
a
<-
1
2
-2<
b
a
<-
1
2

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1
10
1
10

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a
3
4
a
3
4

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(2011•宁波模拟)已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是
a<
3
4
a<
3
4

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