Question

【题目】定义：对棱相等的四面体为等腰四面体.

（1）若等腰四面体的每条棱长都是，求该等腰四面体的体积；

（2）求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形：

（3）设等腰四面体的三个侧面与底面所成的角分别为，请判断是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）是定值；定值为1

【解析】

由条件，四面体的对棱相等，则可以将四面体放到长方体中去.

（1）当等腰四面体的每条棱长都是时，长方体是正方体,且正方体的棱长为，该等腰四面体的体积为正方体的体积减去4个角上的4个全等的小三棱锥的体积，则可求出答案.
（2）设长方体的长、宽、高分别为,在该四面体的每个面中，任意两边的平方之和都大于第三边的平方,从而可证.
（3）过作平面交平面于点,为面与底面所成的角, ,根据题意设，面与底面所成的角分别为，同理可得：，又≌≌≌,从而可得答案.

由条件，四面体的对棱相等，则可以将四面体放到长方体中去,如图.

(1)当等腰四面体的每条棱长都是时，长方体是正方体,且正方体的棱长为.

此时该等腰四面体的体积为正方体的体积减去4个角上的4个全等的小三棱锥的体积.

所以.

(2)设长方体的长、宽、高分别为.

则，，.

在面中，

所以为锐角.

同理：在该四面体的每个面中，任意两边的平方之和都大于第三边的平方.

根据余弦定理可得，每个面中的三角形均为锐角三角形.

所以等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形.

(3) 的值为定值1.

过作平面交平面于点,则

过作交于,所以平面,则.

所以为面与底面所成的角,设

设面与底面所成的角分别为.

同理可得：

又≌≌≌

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