Question

（2010•石家庄二模）直线y=k（x+1）与曲线y=

1 x-1 ，(x＜1) x-1 ，(x≥1)

的公共点最多时实数k的取值范围为

(0，

2

4

)

．

Answer 1

分析：把直线y=k（x+1）代入曲线y=

x-1

（x≥1），得k²x²+（2k²-1）x+k²+1=0，当直线y=k（x+1）与曲线y=

x-1

（x≥1）的公共点最多时，实数k满足

k＞0 △=(2k2-1)2-4k2(k2+1)＞0

，由此能求出k的范围．

解答：解：由于直线y=k（x+1）恒过定点（-1，0），结合函数的图象可知，
①当k≤0时，直线y=k（x+1）与y=

x-1

没有交点，与y=

1

x-1

最多2个交点
②当k＞0时，直线y=k（x+1）与已知曲线y=

1 x-1 ，x＜1 x-1 ，x≥1

最多有3个交点
此时直线y=k（x+1）单调递增，而y=

1

x-1

（x＜1）单调递减，y=k（x+1）与y=

1

x-1

只有一个交点，
则y=k（x+1）与y=

x-1

（x≥1）有2个交点
把直线y=k（x+1）代入曲线y=

x-1

（x≥1），
整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²+1=0，在[1，+∞）有2个根
当直线y=k（x+1）与曲线y=

x-1

（x≥1）的公共点最多时，
实数k满足

k＞0 △=(2k2-1)2-4k2(1+k2)＞0 1-2k2 k2 ＞2

整理，得0＜k2＜

1

8

解得0＜k＜

2

4

．
故答案为：(0，

2

4

)

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．