Question

3．已知函数y=kx²-4x-8在区间[4，16]上单调递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 y=kx²-4x-8在区间[4，16]上是减函数，判断[4，16]为函数减区间的子集，分k＞0，k=0和k＜0三种情况讨论即可．

解答 解：因为y=kx²-4x-8在区间[4，16]上是减函数，所以[4，16]为函数减区间的子集．
①当k=0时，y=-4x-8在区间[4，16]上是减函数，∴k=0满足题意；
②当k＞0时，y=kx²-4x-8的减区间为（-∞，$\frac{2}{k}$]，则有$\frac{2}{k}$≥16，解得0＜k≤$\frac{1}{8}$；
③当k＜0时，y=kx²-4x-8的减区间为[$\frac{2}{k}$，+∞），则有$\frac{2}{k}$≤4，解得k＜0；
∴k的取值范围为（-∞，$\frac{1}{8}$]．

点评 本题考查了含字母系数的函数在闭区间上的单调性问题，解题时要对字母讨论．