Question

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a、b、c.

(1)求x_n+1与x_n的关系式；

(2)猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

(3)设a＝2，b＝1，为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

Answer 1

解：(1)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为cx_n²,因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²,n∈N^*,(*),即x_n+1=x_n(a-b+1-cx_n),n∈N^*.(**)

(2)若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁，n∈N^*，从而由（*）式得x_n(a-b-cx_n)恒等于0,n∈N^*,所以a-b-cx₁=0,即x₁=.

    因为x₁＞0，所以a＞b.猜测：当且仅当a＞b，且x₁=时，每年年初鱼群的总量保持不变.

(3)若b的值使得x_n＞0，n∈N^*，由x_n+1=x_n(3－b－x_n),n∈N^*,知0＜x_n＜3－b,n∈N^*,特别地，有0＜x₁＜3－b,即0＜b＜3－x₁.

    而x₁∈(0,2)，所以b∈(0,1)，由此猜测b的最大允许值是1.

    下证当x₁∈(0,2)，b=1时，都有x_n∈(0,2),n∈N^*.

①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0,2),

    则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k)＞0.又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1＜2,

    所以x_k+1∈(0,2)，故当n=k+1时结论也成立.

    由①②可知对于任意的n∈N^*，都有x_n∈(0,2).

    综上所述，为保证对任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的最大允许值是1.