Question

已知边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为

3

2

，推广到空间，棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为：

6

3

a

．

Answer 1

分析：三角形内任意一点到三边距离和为定值是利用三角形面积相等得到的，类彼此可利用四面体的体积相等求得棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和．

解答：解：边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，
由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到．
方法如下，如图，
在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h₁，h₂，h₃，h₄．
四面体A-BCD的四个面的面积相等，均为

3

4

a2，高为

6

3

a．
由体积相等得：

1

3

(h1+h2+h3+h4)•

3

4

a2=

1

3

•

3

4

a2•

6

3

a．
所以h1+h2+h3+h4=

6

3

a．
故答案为

6

3

a．

点评：本题考查了类比推理，考查了学生的空间想象能力，训练了等积法求点到面的距离，是基础题．