Question

某家庭为小孩买教育保险，小孩在出生的第一年父母就交纳保险金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的保险金数目为a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时保险公司给予优惠的利息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的保险金就变为a₂（1+r）^n-2，…，以Tn表示到第n年末所累计的保险金总额．
（1）写出T_n与T_n+1的递推关系（n≥1）；
（2）若a₁=1，d=0.1，求{T_n}的通项公式．（用r表示）

Answer 1

分析：（1）通过已知条件求出等差数列的通项公式，然后根据条件写出T_n与T_n+1的递推关系（n≥1）；
（2）通过（1）的递推关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出数列的通项公式，即可得到{T_n}的通项公式．

解答：解：（1）因为数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），
因此，历年所交纳的保险金数目为a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，所以a_n=a₁+nd，
与此同时保险公司给予优惠的利息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，
这就是说，如果固定利率为r（r＞0），
那么，在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a₁（1+r）^n-1，
第二年所交纳的保险金就变为a₂（1+r）^n-2，…，所以T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
∴T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd  （6分）
（2）T_n+1=T_n（1+r）+

1

10

n+1，T₁=a₁=1
用待定系数法：T_n+1+A（n+1）+B=（1+r）（T_n+An+B）
解得：A=

1

10r

，B=

10r+1

10r2

，所以{T_n+

1

10r

n+

10r+1

10r2

}是以1为首项以1+r为公比的等比数列，
∴T_n+

1

10r

n+

10r+1

10r2

=

(1+r)n-1

r

解得：T_n=

(10r2+11r+1)(1+r)n-1-rn-10r-1

10r2

（7分）

点评：本题考查数列模型的构建，考查等比数列求和的基本方法的运用，解题的关键是正确构建数列模型．