Question

【题目】在直角坐标系xOy中，已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，点P是直线l：x﹣2y﹣2=0上的任意点，过P作圆的两条切线PA，PB，切点为A、B，当∠APB取最大值时．
（Ⅰ）求点P的坐标及过点P的切线方程；
（Ⅱ）在△APB的外接圆上是否存在这样的点Q，使|OQ|= （O为坐标原点），如果存在，求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圆方程可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，圆心C（1，2），r=1 当∠APB取最大值时，即圆心到点P的距离最小
所求的点P是过圆心与直线l垂直的直线与直线l的交点．
过圆心与直线l垂直的直线的方程是：2x+y﹣4=0
由 ，解得P（2，0）
设切线方程为：y=k（x﹣2），
，解得k= ，或k不存在．
过点P的切线方程：3x+4y﹣6=0
或x=2
（Ⅱ）△APB的外接圆是以PC为直径的圆
PC的中点坐标是 ，
因此△APB外接圆方程是：
圆上的点到点O的最大距离是：
因此这样的点Q不存在
【解析】（Ⅰ）求出圆心C（1，2），r=1，判断当∠APB取最大值时，即圆心到点P的距离最小，通过求解P（2，0）得到切线方程．（Ⅱ）△APB的外接圆是以PC为直径的圆，求出PC的中点坐标是 ， ，圆上的点到点O的最大距离判断求解，即可得到因此这样的点Q不存在．