Question

如图，过抛物线C₁：y=x²-1上一点P（不与顶点重合）的切　线l与曲线C₂：相交所得的弦为AB．
（1）证明：弦AB的中点在一条定直线l₀上；
（2）过P点且平行于（1）中直线l₀的直线与曲线C₁的另一交点为Q，与l平行的直线与曲线C₁交于E、F两点，已知∠EQP=45°，试判断△EQF的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设点P（t，t²-1）
因为对曲线C₁而言，所以l的斜率为y'|_x=t=2t，
直线l的方程为y=2tx-（t²+1）．
由，
得4（1+t²）x²-4t（1+t²）x+（1-t²）（3+t²）=0．
由△=-16（1+t²）（t²-3）＞0得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为（x₀，y₀），
则x₁+x₂=t，y₁+y₂=2t（x₁+x₂）-2（t²+1）=-2，
从而y₀=-1．
所以弦AB的中点在一条定直线l₀：y=-1上．…（7分）
（2）由（1）知，P，Q两点关于y轴对称，所以Q（-t，t²-1）．
设EF的方程为y=2tx+b，代入y=x²-1得x²-2tx-b-1=0．
设E（x_E，x_E²-1），F（x_F，x_F²-1），
则x_E+x_F=2t，因为，
同理k_QF=x_E-t．所以k_QF+k_QE=（x_E+x_F）-2t=0．
若点F在直线PQ下方，则直线PQ平分∠EQF．
因为，所以，
即△EQF为直角三角形；
若点F在直线PQ上方，设M为线段PQ左边延长线上一点，
则，结论仍然成立．…（15分）
分析：（1）设点P（t，t²-1），因为对曲线C₁而言，所以l的斜率为y'|_x=t=2t，直线l的方程为y=2tx-（t²+1）．由，得4（1+t²）x²-4t（1+t²）x+（1-t²）（3+t²）=0．再由根的判别式和韦达定理能够证明弦AB的中点在一条定直线l₀：y=-1上．
（2）由P，Q两点关于y轴对称，知Q（-t，t²-1）．设EF的方程为y=2tx+b，代入y=x²-1得x²-2tx-b-1=0．设E（x_E，x_E²-1），F（x_F，x_F²-1），则x_E+x_F=2t，因为，同理k_QF=x_E-t．所以k_QF+k_QE=（x_E+x_F）-2t=0．由此能够判断△EQF为直角三角形．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，具有一定的难度，运算量大，解题繁琐，答题时要认真审题，合理地进行等价转化．