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定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数,对于下列命题:
①函数f(x)是以T=2为周期的函数;
②函数f(x)的图象关于点(1,0)对称;
③函数f(x)的图象关于直线x=2对称;
④函数f(x)的最大值为f(2);
⑤f(2011)=0.
其中正确结论的序号为


  1. A.
    ①③⑤
  2. B.
    ②③⑤
  3. C.
    ②③④
  4. D.
    ①④⑤
B
分析:由题意定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,说明该函数的周期为T=4,又有函数f(x+1)为奇函数,说明函数f(x)应该有对称中心(1,0)
解答:∵定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,即:f(x+2)=-f(x)对于一切x都成立,式子中的x被x+2代替得到:f(x+4)=-f(x+2)=f(x),有函数的周期的定义可以得到:函数f(x)的周期T=4,所以①错;
又∵函数f(x+1)为奇函数,即函数f(x)向左平移一个单位以后关于(0,0)对称,
∴平移之前的图象应该关于(1,0)对称,故②正确;
∵f(x+2)=-f(x)且f(x+1)=y为奇函数,
??f(x+3)=f(-x+1)?函数f(x)有对称轴x=2,所以③正确;
对于⑤由于f(1)=0,所以f(2011)=f(502×4+3)=f(3)=-f(1)=0,故⑤正确.
故选B
点评:此题考查了函数的周期定义及利用定义求函数的周期,还考查了函数的对称及与图象的平移变换,还考查了复合函数的奇函数的定义式.
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2
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3
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π
3
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x0
2
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3
2
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2
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3
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