Question

已知

a

=（-

1

2

，

3

2

），

OA

=

a

-

b

，

OB

=

a

+

b

，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：根据向量的数量积及其运算性质，结合题中数据算出|

a

|=|

b

|=1且

a

⊥

b

，得到

a

、

b

是互相垂直的单位向量．由此算出

OA

、

OB

的模，利用三角形的面积公式加以计算，可得答案．

解答： 解：∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=0，
展开化简得：

a

²-

b

²=0，得|

a

|=|

b

|，|

a

|=

1 4 + 3 4

=1，
|

OA

|=|

OB

|，即有|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，
即

a

2+

b

2-2

a

•

b

=

a

2+

b

2+2

a

•

b

，即有

a

•

b

=0，
可得

a

、

b

是互相垂直的单位向量
因此，|

OA

|=|

OB

|=

2

，得△OAB的面积S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|=1．
故答案为：1．

点评：本题给出单位向量互相垂直，求与之相关的△OAB的面积．着重考查了平面向量的数量积公式、向量数量积的运算性质和模的公式和三角形的面积求法等知识，属于中档题．