Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．

（1）求实数a，b的值；

（2）判断并用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；

（3）若对任意的x∈[1，2]，存在t∈[1，2]使得不等式f（x2+tx）+f（2x+m）＞0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a=2，b=1；（2）见解析；（3）（-∞，-10）．

【解析】

（1）根据奇函数的性质，列式f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）可解得；

（2）先分离常数，判断单调递减，再用定义作差证明；

（3）先根据奇偶性和单调性将函数不等式变形，去掉函数符号后，先按照对x恒成立，在按照对t有解转化为最值解决．

解（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即b-1=0，∴b=1，

又f（-x）=-f（x）∴f（-1）=-f（1），∴=-，∴a=2

综上所述：a=2，b=1；经检验满足题意.

（2）由（1）知：f（x）=+，∴f（x）是R上的减函数，

证明如下：

设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=++

=，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）是R上的减函数，

（3）∵f（x2+tx）+f（2x+m）＞0

∴f（x2+tx）＞-f（2x+m）

∴f（x2+tx）＞f（-2x-m）

∴x2+tx＜-2x-m

∴m＜-x2-（2+t）x 对任意的x∈[1，2]恒成立，

∴，∴m＜-8-2t对t∈[1，2]有解，

∴m＜-8-2=-10，

所以实数m的取值范围是（-∞，-10）．