Question

20．已知命题p：?x∈[0，3]，a≥-x²+2x-$\frac{2}{3}$，命题q：?x∈R，x²+4x+a=0，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 结合二次函数的性质分别求出关于命题p，q的a的范围，从而求出a的范围．

解答 解：设f（x）=-x²+2x-$\frac{2}{3}$，（0≤x≤3），
则f（x）=-（x-1）²+$\frac{1}{3}$，
又0≤x≤3，∴当x=1时，f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{3}$，
由已知得：命题P：a≥$\frac{1}{3}$，
由命题q：△=16-4a≥0，即a≤4，
又命题“p∧q”是真命题，
∴a≥$\frac{1}{3}$且a≤4成立，即$\frac{1}{3}$≤a≤4，
故实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，4]．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．