考点:导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题:导数的综合应用
分析:(1)求出函数f'(x)=
(x>0),通过①当a≤0时,②当a>0时,利用函数的单调性,分别求解函数的最值.
(2)由(1)推出
<
<e,即可求出a的范围.
(3)当a=1时,得到g(x)=
(x>0),求出函数的导数,g′(x)=
,利用函数g(x)单调性,推出g(x)=
≤g(
)=
,
≤
•
,
<
•
<
•(
-
),然后证明即可.
解答:
解:(1)因为函数f(x)=ax
2-lnx,所以f'(x)=
(x>0),
所以①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,故递减区间为(0,+∞),无最值;
②当a>0时,递增区间为[
,+∞),递减区间为(0,
),
所以有最小值f(
)=
[1+ln(2a)].4分
(2)由(1)可知,
<
<e,所以
<a<
.7分
(3)当a=1时,函数g(x)=
(x>0),
g'(x)=
,
函数g(x)在(
,+∞)上单调递减,在(0,
)上单调递增,
所以有g(x)=
≤g(
)=
,
≤
•
,且有
<
•
<
•(
-
),
取x=2,3,…,
则
+
+…+
<
•[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)],
所以
+
+…+
<
•(1-
)<
.12分.
点评:本题考查函数的导数的综合应用,放缩法以及裂项法证明不等式,考查函数与数列不等式的综合应用,考查分析问题解决问题额能力.