Question

已知函数f（x）=ax²-lnx．
（1）求函数的单调区间与最值；
（2）若方程f（x）-k=0在区间[

1

e

，e]内有两个不相等的实根，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，函数g（x）=1-

f(x)

x2

，求证：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数f'（x）=

2ax2-1

x

（x＞0），通过①当a≤0时，②当a＞0时，利用函数的单调性，分别求解函数的最值．
（2）由（1）推出

1

e

＜

1 2a

＜e，即可求出a的范围．
（3）当a=1时，得到g（x）=

lnx

x2

（x＞0），求出函数的导数，g′（x）=

1-2lnx

x3

，利用函数g（x）单调性，推出g（x）=

lnx

x2

≤g（

e

）=

1

2e

，

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

•（

1

n-1

-

1

n

），然后证明即可．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=ax²-lnx，所以f'（x）=

2ax2-1

x

（x＞0），
所以①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，故递减区间为（0，+∞），无最值；
②当a＞0时，递增区间为[

2a

2a

，+∞），递减区间为（0，

2a

2a

），
所以有最小值f（

2a

2a

）=

1

2

[1+ln（2a）].4分
（2）由（1）可知，

1

e

＜

1 2a

＜e，所以

1

2e2

＜a＜

e2

2

.7分
（3）当a=1时，函数g（x）=

lnx

x2

（x＞0），
g'（x）=

1-2lnx

x3

，
函数g（x）在（

e

，+∞）上单调递减，在（0，

e

）上单调递增，
所以有g（x）=

lnx

x2

≤g（

e

）=

1

2e

，

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，且有

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

•（

1

n-1

-

1

n

），
取x=2，3，…，
则

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]，
所以

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•（1-

1

n

）＜

1

2e

.12分．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，放缩法以及裂项法证明不等式，考查函数与数列不等式的综合应用，考查分析问题解决问题额能力．