Question

已知函数f（x）=-x³-ax²+b²x+1（a、b∈R）．
（1）若a=1，b=1，求f（x）的极值和单调区间；
（2）已知x₁，x₂为f（x）的极值点，且|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|，若当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1，b=1代入函数f（x）=-x³-ax²+b²x+1，求导，分析导函数的符号，可得f（x）的单调性、极值；
（2）根据x₁，x₂为f（x）的极值点，得到x₁，x₂为方程-3x²-2ax+b²=0的两根，利用韦达定理得到x₁+x₂=-

2a

3

，x₁x₂=-

b2

3

，并把|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|代入化简得到|9+

b2

3

-

2a2

3

-b²|=

2

9

，利用导数的几何意义得到k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+

1-a2

3

，要求函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，实际上是求k=f′（x）的最大值．

解答：解：（1）f（x）=-x³-x²+x+1，f′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1）．

f（x）的极大值为

32

27

，极小值为0．
f（x）的单调增区间为（-1，

1

3

），单调减区间为（-∞，-1），（

1

3

，+∞）．
（2）∵f（x）=-x³-ax²+b²x+1，
∴f′（x）=-3x²-2ax+b²，又x₁，x₂为f（x）的极值点，
∴x₁，x₂为方程-3x²-2ax+b²=0的两根，
x₁+x₂=-

2a

3

，x₁x₂=-

b2

3

，
∵|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|，
∴|-x₁³-ax₁²+b²x₁+1+x₂³+ax₂³-b²x₂-1|=

2

9

|x₁-x₂|，
整理得|x₁²+x₁x₂+x₂²+a（x₁+x₂）-b²|=

2

9

，
即|9+

b2

3

-

2a2

3

-b²|=

2

9

，
∴a²+3b²=1，∴a²≤1．
∵k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+

1-a2

3

，
f′（x）_max=f′(-

a

3

)=

1

3

，
∴m＞

1

3

．

点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题以及导数的几何意义．考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．