Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a≠b，cos²

A

2

-cos²

B

2

=sin

A

2

cos

A

2

-sin

B

2

cos

B

2

．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式化简式子，根据题意和边角关系求出角C；
（2）由勾股定理可得c²=a²+b²，由不等式求出ab的范围，即可求出△ABC的面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意得，cos²

A

2

-cos²

B

2

=sin

A

2

cos

A

2

-sin

B

2

cos

B

2

，
所以

1+cosA

2

-

1+cosB

2

=

1

2

sinA-

1

2

sinB，
sinA-cosA=sinB-cosB，则

2

sin（A-

π

4

）=

2

sin（B-

π

4

），
所以A-

π

4

=B-

π

4

或（A-

π

4

）+（B-

π

4

）=π，
即A=B或A+B=

π

2

，
又a≠b，所以A+B=

π

2

，即C=

π

2

；
（2）因为c=4，C=

π

2

，所以c²=a²+b²，
则16=a²+b²≥2ab，得ab≤8（当且仅当a=b时取等号），
所以△ABC的面积S=

1

2

ab≤4，
故△ABC的面积的最大值是4．

点评：本题考查二倍角公式，勾股定理，以及不等式求最值问题，注意边角之间关系的应用．