Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E，F分别是上底面A₁C₁和侧面CD₁的中心，求下列各式中的x，y的值：
（1）

AC1

=x(

AB

+

BC

+

CC1

)，则x=

 

；
（2）

AE

=

AA1

+x

AB

+y

AD

，则x=

 

，y=

 

；
（3）

AF

=

AD

+x

AB

+y

AA1

，则x=

 

，y=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据向量加法的首尾相连法则求解；
（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得

AE

=

AA1

+

A1E

和

A1E

=

1

2

（

A1B1

+

A1D1

），再由向量相等求解；
（3）由向量加法的三角形法则和四边形法则得

AF

=

AD

+

DF

和

DF

=

1

2

（

DC

+

DD1

），再由向量相等求解．

解答：解：（1）根据向量加法的首尾相连法则，x=1；
（2）由向量加法的三角形法则得，

AE

=

AA1

+

A1E

，
由四边形法则和向量相等得，

A1E

=

1

2

（

A1B1

+

A1D1

）=

1

2

（

AB

+

AD

）；
∴

AE

=

AA1

+

1

2

AB

+

1

2

AD

，∴x=y=

1

2

；
（3）由向量加法的三角形法则得，

AF

=

AD

+

DF

，
由四边形法则和向量相等得，

DF

=

1

2

（

DC

+

DD1

）=

1

2

（

AB

+

AA1

）；
∴

AF

=

AD

+

1

2

AB

+

1

2

AA1

，
∴x=y=

1

2

．

点评：本题主要考查了向量加法的三角形法则、四边形法则和向量相等得概念，三角形法则可推广到首尾相连，是基础题．