Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求a₁的值，并证明数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）设b_n=log₂

an

n+1

，数列{

1

bn

}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞

m

20

成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2²，解得a₁．当n≥2时，由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．可得Sn-1=2an-1-2n．两式相减可得

an

2

-

an-1

2n-1

=1．即可证明．
（2）由（1）可得

an

2n

=

a1

21

+（n-1）=n+1．可得an=(n+1)•2n．b_n=log₂

an

n+1

=log2

(n+1)•2n

n+1

=n，B_n=1+

1

2

+…+

1

n

，B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

．证明为单调递增数列即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2²，解得a₁=4．
当n≥2时，由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．可得Sn-1=2an-1-2n．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1．
∴数列{

an

2n

}是以首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得

an

2n

=

a1

21

+（n-1）=n+1．
∴an=(n+1)•2n．
∴b_n=log₂

an

n+1

=log2

(n+1)•2n

n+1

=n，
∴B_n=1+

1

2

+…+

1

n

，
则B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

．
令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

．
则f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），
∴数列{f（n）}为递增数列．
∴当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
据题意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．
又m为整数，故m的最大值为18．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．