Question

11．已知函数f（x）=lnx+ax²（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．
（1）若$a=-\frac{1}{2}$，求f（x）的最大值；
（2）若b=2，且直线$y=g（x）-\frac{3}{2}$是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；
（3）若a＜0，且$b-a=\frac{1}{2}$，函数h（x）=f（x）-g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；
（2）设出切点坐标，表示出切线方程，得到lnx₀-x₀+1=0，设t（x）=lnx-x+1，x＞0，根据函数的单调性求出a的值即可；
（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合函数h（x）=f（x）-g（2x）有且只有两个不同的零点，求出a的范围即可．

解答 解：（1）由题意，$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}$，x＞0，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-x=-\frac{（x-1）（x+1）}{x}$，
令f'（x）=0，x=1，…（2分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	$-\frac{1}{2}$	↘

从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，
∴f（x）的最大值是$-\frac{1}{2}$．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（4分）
（2）由题意，直线$y=2x-\frac{3}{2}$是曲线y=lnx+ax²的一条切线，
设切点$（{x_0}，ln{x_0}+a{x_0}^2）$，∴切线的斜率为$f'（{x_0}）=\frac{1}{x_0}+2a{x_0}$，
∴切线的方程为$y-（ln{x_0}+a{x_0}^2）=（\frac{1}{x_0}+2a{x_0}）（x-{x_0}）$，
即$y=（\frac{1}{x_0}+2a{x_0}）x+ln{x_0}-1-a{x_0}^2$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x_0}+2a{x_0}=2}\\{ln{x_0}-1-a{x_0}^2=-\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$…（6分）
∴lnx₀-x₀+1=0，
设t（x）=lnx-x+1，x＞0，∴$t'（x）=\frac{1}{x}-1=-\frac{x-1}{x}$，
当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0，
∴t（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴t（x）_max=t（1）=0，
∵t（x₀）=0，∴x₀=1，此时$a=\frac{1}{2}$．                              …（10分）
（3）∵$b-a=\frac{1}{2}$，
∴$h（x）=f（x）-g（2x）=lnx+a{x^2}-（a+\frac{1}{2}）（2x）=lnx+a{x^2}-（2a+1）x$，x＞0，
∴$h'（x）=\frac{1}{x}+2ax-（2a+1）=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，
（ⅰ）当-1≤a≤0时，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，
∴函数h（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，
∴h（x）≤h（1）=-1，函数h（x）在区间（0，+∞）上无零点，…（12分）
（ⅱ）当a＜-1时，
令h'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2a}＜0$，x₂=1，
由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x-1，
∴$h（-\frac{1}{2a}）=ln（-\frac{1}{2a}）+\frac{3}{4a}+1≤-\frac{1}{2a}-1+\frac{3}{4a}+1=\frac{1}{4a}＜0$，其中$-\frac{1}{2a}∈（0，\frac{1}{2}）$，
又h（1）=-a-1＞0，且函数h（x）在（0，1）上不间断，
∴函数h（x）在（0，1）上存在零点，
另外，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，
故函数h（x）在（0，1）上是单调减函数，
∴函数h（x）在（0，1）上只有一个零点，
∵h（2）=ln2+a×2²-（2a+1）×2=ln2-2＜0，
又h（1）=-a-1＞0，且函数h（x）在（1，+∞）上不间断，
∴函数h（x）在（1，+∞）上存在零点，
另外，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，
故函数h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，
∴函数h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，
∴当-1≤a≤0时，h（x）在区间（0，+∞）上无零点，
当a＜-1时，h（x）在区间（0，+∞）上恰有2个不同的零点，
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-1）．  　　　　               …（16分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．