Question

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比上一月多x元．
（Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（Ⅱ）当x=50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？
（参考数据：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

分析：方法一：（I）前12个月每月还款500，后24个月每月多x元，此36个数相加等于24000，得到x的一次方程，求出即可．
（II）设第n个月还清，前12个月每月还款500，后来（n-2）个月每月多还50，此n个数相加不小于24000，建立不等式解出n的范围．取最小 值．
方法二：（I）前12个月还款额是常数列，后二十四个月每月还款额构成一个等差数列，用数列公式求和，使和为24000，建立方程．解出每月应多还的数额．
（II）前12个月还款额是常数列，后n-12个月每月还款额构成一个首项为500，公差为50的等差数列，用数列公式求和，使和不小于24000，建立不等式，解出n的范围，取最小整数．

解答：解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每月还款额比前一个月多x元，
故12×500+（500+x）+（500+2x）+…+（500+24x）=24000
即36×500+（1+2+3+…+24）x=24000，解得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，
则应有12×500+（500+50）+（500+2×50）+…+[500+（n-12）×50]≥24000
即n²-3n-828≥0，解之得n≥

3+ 3321

2

＞30，取n=31．（10分）
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
24000-[12×500+(500+50)×(30-12)+

(30-12)×(30-12-1)

2

•50]=450元（12分）
第31个月凌霄的工资为1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，
能够满足当月的基本生活需求．（14分）
解法2：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，
每个月的还款额为a_n构成等差数列，其中a₁=500+x，公差为x．（2分）
从而，到第36个月，凌霄共还款12×500+24a1+

24×(24-1)

2

•x（4分）
令12×500+(500+x)×24+

24×(24-1)

2

•x=24000，解之得x=20（元）．（6分）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．（7分）
（Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有
12×500+(500+50)×(n-12)+

(n-12)×(n-12-1)

2

•50≥24000（8分）
整理可得n²-3n-828≥0，解之得n≥

3+ 3321

2

＞30，取n=31．（10分）
即凌霄工作31个月就可以还清贷款．
这个月凌霄的还款额为
24000-[12×500+(500+50)×(30-12)+

(30-12)×(30-12-1)

2

•50]=450元（12分）
第31个月凌霄的工资为1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789元．
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339，能够满足当月的基本生活需求．（14分）

点评：此为一可以转化为等差数列求和的问题，考查问题的转化能力，及等差数列求和公式的运用．