(理) 已知,其中是自然常数,[
(1)讨论时, 的单调性、极值;
(2)求证:在(Ⅰ)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(1)当时,f(x)单调递减;当,f(x)单调递增 ;极小值为f(1)=1 ;
(2) ;(3) .
【解析】第一问中利用导数,然后对x讨论,因为x>0,那么分为两段讨论得到函数的单调性,和极值。
解:(Ⅰ) ……1分
∴当时,,此时f(x)单调递减
当时,,此时f(x)单调递增 ……3分
∴f(x)的极小值为f(1)=1 ……4分
(Ⅱ) f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e】上的最小值为1,
∴, ……5分
令 ……6分
当时,,在(0,e】上单调递增 ……7分
∴
∴在(1)的条件下, ……9分
(Ⅲ)假设存在实数a,使()有最小值3,
……10分
① 当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值. ……12分
②当时,在上单调递减,在上单调递增
,满足条件. ……13分
③ 当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.综上,存在实数,使得当时有最小值3.
…………………………………………………………………………………………………….14分
科目:高中数学 来源: 题型:
(08年龙岩一中模拟理)(12分)
已知向量,其中,,把其中所满足的关系式记为,若函数为奇函数.
(1) 求函数的表达式;
(2) 已知数列的各项都是正数, 为数列的前项和,且对于任意,都有“的前和”等于,求数列的通项式;
(3) 若数列满足,求数列的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(06年天津卷理)(12分)
已知函数其中为参数,且
(I)当时,判断函数是否有极值;
(II)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
(III)若对(II)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围。
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