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(理) 已知,其中是自然常数,[

(1)讨论时, 的单调性、极值;

(2)求证:在(Ⅰ)的条件下,;

(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

 

【答案】

(1)当时,f(x)单调递减;当,f(x)单调递增 ;极小值为f(1)=1  ;

(2)  ;(3)    .

【解析】第一问中利用导数,然后对x讨论,因为x>0,那么分为两段讨论得到函数的单调性,和极值。

           

解:(Ⅰ) ……1分

∴当时,,此时f(x)单调递减

时,,此时f(x)单调递增    ……3分

∴f(x)的极小值为f(1)=1                         ……4分

(Ⅱ) f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e】上的最小值为1,

∴,                   ……5分

 ……6分

时,在(0,e】上单调递增  ……7分

 

∴在(1)的条件下,           ……9分

(Ⅲ)假设存在实数a,使)有最小值3,

                      ……10分

①    当时,上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.             ……12分

②当时,上单调递减,在上单调递增

,满足条件.  ……13分

③ 当时,上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.综上,存在实数,使得当有最小值3.

…………………………………………………………………………………………………….14分

 

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